10º
TEMA 1. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
De acuerdo al teorema de pitágoras :
Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad:
Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:
Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:
Su solución :
Otra de las identidades trigonométricas sería la de división:
Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:
Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:
Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:
Identidades trigonométricas de ángulo doble:
Identidades trigonométricas de mitad de ángulo:
Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas :
https://matematica.laguia2000.com/general/identidades-trigonometricas
TEMA 2. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las ecuaciones trigonométricas son aquellas ecuaciones cuyas incógnitas
se tratan de ángulos que forman parte del argumento de una o varias razones
trigonométricas. Dado que se tratan de ángulos, tienen infinitas soluciones que
pueden pertenecer a uno o dos cuadrantes como máximo. (Infinitas debido a que
un mismo ángulo representa todos los posibles giros).
Aunque en las ecuaciones suelen aparecer distintas razones
trigonométricas es común transformarlas por medio de las identidades trigonométricas
de tal forma que contengan una única razón y así poder resolverlas de manera
inmediata.
Solución
Tal y como estudiamos en el apartado de razones trigonométricas de los ángulos de 30º, sabemos que sin 30º = 1/2. Por
tanto, podríamos pensar que la solución es x = 30º, sin embargo existe como
mínimo otra posibilidad. Si recordamos el apartado de ángulos suplementarios, existe otro ángulo situado en el
siguiente cuadrante que posee el mismo valor de seno.
Si dibujamos un ángulo de 30º sobre la circunferencia goniométrica, su
seno es el valor de la coordenada y del punto P (gráficamente
la longitud del segmento azul PQ). Observa que podemos obtener ese mismo valor
de seno con otro ángulo β = 180º-30º = 150º situado en el siguiente cuadrante. De hecho
siempre se cumple que para cualquier ángulo α:
sin α = sin 180º-αsin α = sin π-α
Como puedes comprobar en la figura, x también puede ser el suplementario
de 30º, es decir 180º-30º = 150º, ya que su seno también vale 1/2.
Por tanto, de momento tenemos dos soluciones, sin embargo nuevamente no
las tenemos todas. Observa que en cualquier ángulo si sumamos o restamos 360º o
2·360º o 3·360º, ..., k·360º con k E Z, obtenemos el mismo valor para la
ecuación.
Giros
En la figura puedes observar que si a cualquier ángulo α le sumamos 360º o 2π rad, el ángulo resultante es en
realidad el mismo ángulo α. En concreto, en nuestro ejemplo podemos comprobar como un ángulo
de 30º es equivalente a uno de 390º. Como norma general, esto se cumple
siempre si le sumamos a α cualquier
múltiplo entero de 360º.
De ahí que las soluciones de este tipo de ecuaciones se escriban de la
siguiente forma:
BIBLIOGRAFÍA
TEMA 3. ECUACIONES DE LA RECTA
La recta se puede entender como un conjunto infinito de
puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser
horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha).
1.– Ecuación general de la recta
Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del
plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación
Que también puede escribirse como
y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente teorema
La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 , donde A, B, C pertenecen a los números reales; y en que A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta.
2.– Ecuación principal de la recta
Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta.
Pero antes de entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo siguiente:
Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas, siendo x el valor de la abscisa (horizontal) e y el valor de la ordenada (vertical).
(x, y) = (Abscisa , Ordenada)
Ejemplo: El punto (–3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5.
Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación.
Ejemplo: El punto ( 7, 2 ) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y ) satisface la ecuación y = x – 5 , ya que al reemplazar queda
2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero.
Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce , que se obtiene con la fórmula
y = mx + n
que considera las siguientes variables: un punto ( x, y ), la pendiente ( m ) y el punto de intercepción en la ordenada ( n ), y es conocida como ecuación principal de la recta (conocida también como forma simplificada, como veremos luego).
Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la n , esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente (m) y el punto de intercepción (n) (también llamado intercepto ) en el eje de las ordenadas (y) .
3. - Forma simplificada de la ecuación de la recta
y – b = m(x – 0)
y – b = mx
y = mx + b
Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la
recta (se la llama también forma explícita de la ecuación ) y se utiliza cuando
se conocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos
b ( no olvidemos que corresponde a la n en la primera forma de la ecuación
principal). También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y
la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10 .
Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b .
Usamos la información que tenemos:
m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuación
y = 3x + 10 .
La ecuación que se pide es y = 3x + 10 .
Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla como una ecuación general:
y – 3x – 10 = 0 , la cual amplificamos por –1, quedando como
– y + 3x + 10 = 0 , que luego ordenamos, para quedar
3x – y + 10 = 0
BIBLIOGRAFÍA
1. https://www.profesorenlinea.cl/geometria/Recta_Ecuacion_de.html
TEMA 4. ECUACIONES DE CIRCUNFERENCIA
Todos conocen las circunferencias, saben que pueden trazarse con un compás.
Les resultará natural la siguiente definición:
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
Ahora vamos a deducir partiendo de esta definición, cuál es la expresión de una circunferencia.
Consideremos el siguiente esquema:
(x–α)2+(y–β)2=r2
Que se llama ecuación ordinaria de la circunferencia con centro
Si
Parábola.
Se denomina parábola al lugar geométrico de los puntos de un plano que
equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.
La parábola
es la curva que se obtiene como resultante de cortar un cono recto con un plano
paralelo a su generatriz sus elementos fundamentales se muestran a en la
imagen.
El punto F
se denomina foco y la recta d es la directriz de la parábola.
La recta
que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz se llama eje de la
parábola.
En la
figura de arriba el eje de la parábola coincide con el eje Y. El punto en el
que el eje corta a la parábola recibe el nombre de vértice V y es el punto cuya
distancia a la directriz es mínima.
La
distancia entre el vértice y el foco se conoce como Distancia focal o Radio
focal.
Propiedades
Es una
curva abierta, consiste en dos arcos de curva (ramas) sin puntos comunes que se
prolongan ilimitadamente.
Tiene dos
ejes de simetría perpendiculares; por tanto es centralmente simétrica y tiene
un centro.
Un eje de
simetría no contiene puntos de la curva
Ecuación
La ecuación
de una parábola es y - y0 = a (x - x0)2. Esta ecuación es la parábola con eje
vertical y cuyo vértice es (x0, y0).
Puntos de
corte
Los puntos
de corte de la parábola con el eje de las abscisas, si los hay, son los que
tienen por segunda coordenada y = 0 y la primeras coordenadas son las
soluciones de la ecuación de segundo grado a (x - x0)2 + y0 = 0 (obtenida al
exigir la condición y = 0).
El punto de
corte con el eje de las ordenadas, hay sólo uno, es el que tiene la primera coordenada
x = 0 y la segunda coordenada y = a·x02 + y0 (obtenida al exigir y = 0).
Aplicaciones
La parábola
encuentra su aplicación en muchas ramas de las Ciencias aplicadas, debido a que
las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la
trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo la influencia de la
gravedad.
Es empleada
también en la construcción de antenas satelitales aprovechando el principio de
que un espejo parabólico refleja de forma paralela los rayos emitidos desde su foco
al igual que los radiotelescopios que también se basan en la concentración de
las señales recibidas.
La
concentración de la radiación solar en un punto mediante un reflector
parabólico es empleado en las cocinas solares.
BIBLIOGRAFÍA
1. https://www.ecured.cu/Par%C3%A1bola
TEMA 6. Elipse
La elipse es el lugar
geométrico de los puntos del plano cuya suma de
las distancias a los dos
focos (puntos
interiores fijos F1 y F2) es constante. Es decir, para todo
punto a de la elipse, la suma de las distancias d1 y d2 es constante.
También
podemos definir la elipse como una cónica, consecuencia de la intersección de
un cono con un plano oblicuo que no corta la
base.
Elementos de una elipse
Los elementos más
importante de la elipse son:
§ Focos: son los puntos
fijos F1 y F2 que generan la
elipse. La suma de las dos distancias de cualquier punto de la elipse a los dos
focos (d1 y d2) es constante.
§ Distancia
focal (2c): distancia entre los
dos focos. F1F2=2c. c es la semidistancia
focal.
§ Centro: es el punto medio de
los dos focos (O).
§ Semieje
mayor:
longitud del segmento OI o OK (a). La longitud es mayor
(o igual en el caso de la circunferencia) a la del semieje
menor. La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es
constante y ésta es igual a dos veces el semieje mayor:
§
Semieje menor: longitud del
segmento OJ o OL (b). Ambos semiejes son
los dos ejes de simetría de la elipse. Se cumple que:
Como vemos en el dibujo, esta relación cumple el teorema de Pitágoras.
§
Radios vectores: los radios vectores de
cualquier punto de la elipse (P=(x,y)) son los dos segmentos
que lo unen con los dos focos. PF1 y PF2 (en el
dibujo, d1 y d2).
§
Vértices: son los puntos
resultantes de la intersección de la elipse con la recta que pasa por los
focos, F1F2, y su perpendicular que
pasa por el centro. Es decir, son los
puntos I, J, K y L
BIBLIOGRAFÍA
1. https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/elipse/
TEMA 7. Hipérbole
Una
hiperbola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano en el que
la diferencia de distancias a dos puntos fijos denominados focos, F
y F', es siempre constante.
Hipérbola
Las líneas azules
constituyen lo que se conoce como una hipérbola. Observa sus focos F y F'.
Estos puntos son muy importantes ya que la diferencia de la distancia entre
cada punto P(x,y) y estos puntos es siempre constante.
Por
tanto, debes tener en cuenta que para cualquier punto de la hipérbola
siempre se cumple que:
|d(P,F)−d(P,F')|=2⋅a
Donde d(P,F) y d(P,F') es
la distancia de un punto genérico P de la hipérbola al
foco F y al foco F' respectivamente. Y donde
2a es una constante
Elementos
de la hipérbola
En
las hipérbolas podemos distinguir ciertos elementos comunes que se detallan a
continuación:
- Focos (F y F'). Puntos fijos en los que la diferencia de
distancia entre ellos y cualquier punto de la hipérbola es siempre la
misma.
- Eje focal, principal o real. Recta que pasa por los focos.
- Eje secundario o imaginario. Mediatriz del segmento que une los dos focos.
- Centro (O). Punto de intersección de los ejes focal y secundario.
- Semidistancia focal (c). La mitad de la distancia entre los dos focos F
y F'. Su
valor es c.
- Distancia focal (2c). Distancia del segmento que une los dos
focos F y F'. Su
longitud es 2c.
- Los vértices (A y A'). Puntos de la hipérbola que cortan al eje focal.
- Semieje real (a). Segmento que va desde el origen O hasta cuaqluiera de los
vertices A o A'. Su longitud es a.
- Semieje imaginario (b).
b=c2−a2−−−−−−√
Ecuación de la hipérbola
De manera general podemos encontrarnos
dos tipos de hipérbolas, aquellas en las que el eje focal se encuentra
horizontal o vertical. De este modo podemos definir dos tipos de
ecuaciones.
Hipérbola de eje focal horizontal centrada en un punto
P(x0,y0) cualquiera
La ecuación de una hipérbola de eje focal horizontal viene dada por:
Donde:
- x0 , y0 :
Coordenadas x e y del
centro de la hipérbola
- a : Semieje
real
- b : Semieje
imaginario
BIBLIOGRAFÍA
1. https://www.fisicalab.com/apartado/ecuacion-hiperbola-general
Comentarios
Publicar un comentario