11º
Tema 1. Límites indeterminados
Los límites indeterminados (o indeterminaciones) no indican que el límite no exista, sino que no se puede anticipar el resultado.
Se tendrán que hacer operaciones adicionales para eliminar la indeterminación y averiguar entonces el valor del límite (en el caso de que exista). Ese valor puede ser un número finito, incluido el cero, o +∞ o bien -∞.
Aparecen indeterminaciones cuando, al sustituir la variable (x) de la expresión por el valor del límite al que tiende ésta.
El siguiente límite, por ejemplo, es indeterminado:
Donde, lim es la manera abreviada de escribir límite, x → a se lee “cuando x tiende al valor a en la función”, es decir, cuando la variable x toma valores muy cercanos al valor a y L es el resultado del límite.
En el estudio de las funciones hay puntos donde éstas tienen un comportamiento distinto o abstracto, pero en el límite de estos puntos nos encontramos con cosas que no sabemos interpretar y les llamamos indeterminaciones. Veamos cuáles son las que podemos encontrar en el límite de una función:
- 0 / 0 = indeterminado, no sabemos cuál resultado obtendríamos si se realizara esta operación.
- (± ∞) / (± ∞) = indeterminado, como no conocemos el valor de éstos números tan grandes no podremos saber con exactitud el resultado.
- 0 × ∞ = indeterminado, no sabemos si cero por un número en el infinito sea algún valor exacto.
- ∞ – ∞=indeterminado, no tenemos certeza del resultado de estos números infinitos..
Ejercicio 1: Obtenga el valor del siguiente límite
Evaluamos el límite en cero:
Nos encontramos con una indeterminación. Para obtener el valor del límite debemos buscar la forma de simplificarlo, en este caso, podemos hacer un cambio de variable, x = √x²:
Ya simplificada volvemos a evaluar el límite:
Bibliografía
2. https://miprofe.com/limite-indeterminado/
Tema 2. Límites especiales
Conocida la noción matemática de límite, se pueden encontrar varios tipos de límites, según sea el valor al que tienda la variable independiente x de una determinada función o el valor correspondiente que tome su límite.
Las combinaciones se ven en el siguiente cuadro:
Los dos casos que aparecen en las dos celdas de la última
columna de la tabla son límites infinitos, mientras que los dos casos que
aparecen en las dos celdas de la última fila son límites en el infinito.
En la función en rojo está representado el límite cuando x
tiende a -2, cuyo valor es L = 8 (límite finito cuando la variable tiende a un
valor finito).
Aquí, cuando la variable tiende a un valor finito (x → 0),
el límite tiende a infinito. Son iguales a +∞ los límites laterales en ese
punto.
Bibliografía
1. https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/tipos-limites/
Tema 3. Función radical
Una función racional está definida como el
cociente de polinomios en los cuales el denominador
tiene un grado de por lo menos 1. En otras palabras, debe haber una variable en
el denominador.
La forma general de una función racional es
, donde p ( x ) y q ( x ) son polinomios y q ( x ) ≠ 0.
Ejemplos:
La función padre de una función racional es
y la gráfica es una hipérbola .
El dominio y rango es el conjunto de
todos los números reales excepto 0
Valor
excluído
En
una función racional, un valor excluído es cualquier valor de x que
hace al valor de la función y no definido. Así, estos valores
deben ser excluídos del dominio de la función.
Por ejemplo, el valor excluído de la función
es –3. Esto es, cuando x = –3, el valor de y no esta definido.
Así,
el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales excepto
–3.
Asíntotas
Una asíntota es una recta que se acerca a la gráfica de la función, pero nunca la toca. En la función padre
, tanto los ejes x y y son asíntotas. La gráfica de la función padre se acercará más y más pero nunca tocará las asíntotas.
Una función racional de la forma
tiene una asíntota vertical en el valor excluído, o x = b , y una asíntota horizontal en y = c .
Bibliografía
1. https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/rational-functions
Tema 4. Derivada
La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.
La definición de derivada es la siguiente:
Podría, pues, no
existir tal límite y ser la función no derivable en ese punto. En esta primera
práctica vamos a ver qué significa cada uno de los términos que aparecen en la
formula anterior.
Se aplica en aquellos casos donde es medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como monotonía de una función (si es creciente o decreciente) y la concavidad o convexidad
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones prácticas son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación
Bibliografía
1. https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
Tema 5. Reglas de la derivada
La derivada de una constante
Según lo que hemos descubierto anteriormente la derivada de una constante es cero. Veamos un ejemplo.
f(x) = 7
f '(x) = 0
La derivada de una potencia entera positiva
Como ya sabemos, la derivada de xn es n xn-1, entonces:
f(x)= x5
f '(x)= 5x4
Pero que sucede con funciones como f(x) = 7x5, aún no podemos derivar la función porque no sabemos cual es la regla para derivar ese tipo de expresiones.
La derivada de una constante por una función.
Para derivar una constante por una función, es decir cf(x), su
derivada es la constante por la derivada de la función, o cf'(x), por
ejemplo:>
|
f(x)= 3x5 |
Tampoco podemos diferenciar (o derivar) una suma de funciones. La regla
para la derivada de una suma es (f+g)'=f'+g', es decir, la
derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada uno de
los términos por separado. Entonces:
|
f(x)= 2x3 + x |
La derivada de un producto
Aún no hemos
dicho cual es la regla para derivar un producto de funciones, la regla para la
derivada de un producto es (fg)'= fg'+f'g. En español esto se interpreta
como "la derivada de un producto de dos funciones es la primera, por la
derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera".
|
f(x)= (4x
+ 1)(10x2 - 5) |
La derivada de un cociente
Ahora daremos la
regla para la derivada de un cociente.
|
|
f |
|
|
f 'g - fg' |
|
[ |
|
]' |
= |
|
|
|
g |
|
|
g2 |
Traducción: la derivada de un cociente de dos funciones es (la segunda,
por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda)
entre la segunda al cuadrado.
|
|
|
4x + 1 |
|
f(x) |
= |
|
|
|
|
10x2 - 5 |
|
|
|
|
|
|
|
4(10x2 - 5) - 20x(4x + 1) |
|
f '(x) |
= |
|
|
|
|
(10x2 - 5)2 |
Ahora daremos las fórmulas para las derivadas de las
funciones trigonométricas.
|
f(x) = sen(x) |
|||
|
f(x+h)
- f(x) |
|
sen(h
+ x) - sen(x) |
|
|
|
= |
|
|
|
h |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(x)sen(h)
+ cos(h)sen(x) - sen(x) |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|||
|
cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x) |
|||
|
f '(x) = |
Lim[ |
|
] = cos(x) |
|
h |
h |
||
Ahora daremos el resto de las fórmulas para las
derivadas de las funciones trigonométricas.
|
f '(x)= cos(x) |
|
|
f(x)= cos(x) |
f '(x)= -sen(x) |
|
f(x)= tan(x) = sen(x)/cos(x) |
f '(x)= sec2(x) |
|
f(x)=
cot(x) = cos(x)/sen(x) |
f '(x)= -csc2(x) |
|
f(x)= sec(x) |
f '(x)= sec(x) tan(x) |
|
f(x)= csc(x) |
f
'(x)= -[cot(x) csc(x)] |
La regla de la cadena
Las reglas de derivación que hemos definido hasta
ahora no permiten encontrar la derivada de una función compuesta como (3x
+ 5)4, a menos que desarrollemos el binomio y luego se apliquen las
reglas ya conocidas. Observa el siguiente ejemplo.
|
f(x) |
= |
(3x + 5)2 |
= |
9x2 + 30 x + 25 |
|
f '(x) |
= |
18x + 30 |
= |
6(3x + 5) |
|
|
||||
|
f(x) |
= |
(3x + 5)3 |
= |
27x3 + 135x2 +
225x + 125 |
|
f '(x) |
= |
81 x2 + 270x + 225 |
= |
9(3x + 5)2 |
|
|
||||
|
f(x) |
= |
(3x + 5)4 = |
81x4 + 540x3 +
1350x2 + 1500x + 625 |
|
|
f '(x) |
= |
324x3 + 1620x2 +
2700x + 1500 = 12(3x + 5)3 |
||
|
|
||||
|
f(x) |
= |
(3x + 5)5 |
||
|
= |
243x5 + 2025x4 +
6750x3 + 11250x2 + 9375x + 3125 |
|||
|
f '(x) |
= |
1215x4 + 8100x3 +
20250x2 + 22500x + 9375 |
||
|
= |
15 (3x + 5)4 |
|
||
Observa que después de factorizar la derivada, en cada caso se obtiene la misma función pero con el exponente disminuido en 1, multiplicada por un factor que es igual al producto del exponente original por la derivada de la función base.
Bibliografía
1. http://www3.uacj.mx/CGTI/CDTE/JPM/Documents/IIT/sterraza/mate2016/derivada/der_reg.html
Tema 6. Segundo derivada
La segunda derivada proporciona la
concavidad de una curva de la siguiente manera.
a) Puntos críticos.
b) Valores máximos y mínimos.
c) Punto de inflexión.
d) La gráfica de la función.
Criterio:
Uno de los órdenes de derivación es el de
la segunda derivada, aunque no es despreciable la utilización de las derivadas
de orden superior, sobre todo en cálculo de errores. Curiosamente las
aplicaciones físicas implican, por lo general, derivadas de segundo orden como
podría ser las ecuaciones de movimiento.
En esta sección presentaremos una
interpretación gráfica de los criterios de la segunda derivada que nos servirá
para poder obtener los máximos o mínimos de una función. Antes de analizar cómo
es la relación de la segunda derivada conoceremos algunas definiciones:
Definición.
Sea f una función
entonces:
a) Si f''>0 entonces f es
cóncava hacia arriba.
b) Si f''<0 entonces f es
cóncava hacia abajo.
Cóncava hacia abajo. Se dice que una función es cóncava hacia abajo cuando la primera derivada es creciente en un intervalo abierto (a,b). Si la pendiente de la recta tangente decrece a medida que esta se mueve a lo largo de la curva.
Una linea recta no tiene concavidad
Puntos de inflexión y número de inflexión:
Sea f una función y a un
número. Supongamos que existe números b y c tales
que b<a<c y además:
a) f es
una función continua en el intervalo abierto (b,c)
b) f es
una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (a,c),
o viceversa.
Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a))
se llama punto de inflexión, y al número a se llama número
de inflexión.
Si la segunda derivada f´´ de
una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b)
es porque la primera derivada f´ es creciente en
ese intervalo.
Criterios de la segunda derivada para
máximos y mínimos relativos
Sea f una función con su
primera derivada definida, al menos, en un intervalo abierto conteniendo al
número a. Si f´´ esta definida entonces podemos
considerar los siguiente aspectos:
a).- Si f´(a)=0 y f´´(a)<0 entonces
se dice que f tiene un máximo local en a.
b).- Si f´(a)=0 y f´(a)>0 entonces
se dice que f tiene un mínimo local en a.
Bibliografía
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